孩子说这类题有“套路”——大致扫一眼就能秒出答案！某地中考填空题：如图，已知[m+√(m²+1)][n+√(n²+1)]=1，求m+n=？

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孩子说，凡是这种“对称式”的题型，如果实在没有思路，就按老师教的套路来，直接令m=n，然后就有n+√(n²+1)=1，也即√(n²+1)-n=1，从而n=0，因此m+n=0。这样对吗？


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提示一：平方差公式+“1”！
①[m+√(m²+1)][n+√(n²+1)]=1⇔
[m+√(m²+1)][√(m²+1)-m][n+√(n²+1)]=√(m²+1)-m⇔
n+√(n²+1)=√(m²+1)-m⇔
m+n=√(m²+1)-√(n²+1)
②同理可得
[m+√(m²+1)][√(n²+1)-n][n+√(n²+1)]=√(n²+1)-n⇔
m+√(m²+1)=√(n²+1)-n⇔
m+n=√(n²+1)-√(m²+1)
③由①及②可得2(m+n)=0，故m+n=0。

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提示二：平方差公式+对偶式！
①[m+√(m²+1)][n+√(n²+1)]=1⇔
√(m²+1)√(n²+1)+mn
+n√(m²+1)+m√(n²+1)=1。
②[m+√(m²+1)][n+√(n²+1)]=1⇔
[√(m²+1)-m][√(n²+1)-n]
=[m+√(m²+1)][n+√(n²+1)][√(m²+1)-m][√(n²+1)-n]=1⇔
√(m²+1)√(n²+1)+mn
-n√(m²+1)-m√(n²+1)=1。
③用①-②即得
n√(m²+1)+m√(n²+1)=0（注意到mn≤0）⇔
n²(m²+1)=m²(n²+1)⇔
m²=n²⇔
m=±n，再由mn≤0即得m=-n，故m+n=0。
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初中数学