得分率不足10%——式子太“绕”，很多孩子直接放弃作答！某地中考填空压轴题：如图，已知a√(1-b²)+b√(1-a²)=1，则a²+b²=？

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提示一：仅适用于选择题或填空题！
由a√(1-b²)+b√(1-a²)的对称性，可直接令a=b，则有
2a√(1-a²)=1⇔
4a²(1-a²)=1⇔
4a⁴-4a²+1=0⇔
(2a²-1)²=0，从而a²=1/2，故a²+b²=1。

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提示二：换元+配方！
①记x=√(1−b²)，y=√(1−a²)，则ax+by =1， a²+y²=1， b²+x²=1，从而a²+y²+b²+x² = 2。
② a²+y²+b²+x² =2=2(ax+by)，故(a−x)² +(b−y)² =0，从而a=x且b=y，即
√(1−a²)=a且√(1−b²)=y，求得a²=b²=1/2，故a²+b²=1。


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提示三：对偶式+配方！
①记a√(1-b²)-b√(1-a²)=m
②两式相乘可得m×1=a²(1-b²)-b²(1-a²)=a²-b²。
③两式相加可得2a√(1-b²)=m+1=a²+(1-b²)⇔
[a-√(1-b²)]²=0⇔
a=√(1-b²)即a²=1-b²，从而a²+b²=1。




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提示四：观察（4项平方和为常数即a²+(1-b)²+b²+(1-a²)=2）+配方！
a√(1-b²)+b√(1-a²)=1⇔
2[a√(1-b²)+b√(1-a²)]=2
=a²+(1-b²)+b²+(1-a²)⇔
[a-√(1-b²)]²+[b-√(1-a²)]²=0⇔
a=√(1-b²)且b=√(1-a²)
即a²+b²=1。



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提示五：直接有理化（暴力求解）！
a√(1-b²)+b√(1-a²)=1⇔
a√(1-b²)=1-b√(1-a²)⇔
a²(1-b²)=1+b²(1-a²)-2b√(1-a²)⇔
2b√(1-a²)=1+b²-a²⇔
2b√(1-a²)=b²+(√(1-a²))²
[b-√(1-a²)]²=0⇔
b=√(1-a²)也即a²+b²=1。


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归纳与拓展：

若a√(t²-b²)+b√(t²-a²)=t²，则a²+b²=t。

事实上，只需令a=xt，b=yt，则a√(t²-b²)+b√(t²-a²)=t²⇔
t²x√(1-y²)+t²y√(1-x²)=t²⇔
x√(1-y²)+y√(1-x²)=1，从而由原题可得x²+y²=1，故a²+b²=t²(x²+y²)=t²。

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中考数学 数学思维