学霸口算，其余孩子大多靠“硬算”——算错的还不少！这是一道初中数学竞赛题：巧用数形结合、答案只需口算即可！如图一，解无理方程√(576-x²)+√(49-x²)=25。


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常规解法：有理化！
√(576-x²)+√(49-x²)=25⇔
√(576-x²)=25-√(49-x²)⇔
576-x²=625+49-x²-50√(49-x²)⇔
50√(49-x²)=625+49-576=98⇔
√(49-x²)=49/25⇔
49-x²=(49/25)²⇔
x²=49-(49/25)²=49×(1-49/625)
=49×(625-49)/625=49×576/625⇔
x=±7×24/25=±168/25。

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口算解法：数形结合！
①24²+7²=576+49=625=25²，故边长为7、24和25的三角形为直角三角形ABC（如图二），AB=7，BC=24，AC=25。
②过点B作AC的垂线BD，
令BD=｜x｜，则AD=√(49-x²)，CD=√(576-x²)，25=BC=AD+CD
=√(576-x²)+√(49-x²)，即BD为方程
√(576-x²)+√(49-x²)=25的解。
③BD×AC÷2=S△ABC=AB×BC÷2，故
BD=AB×BC÷AC=7×24÷25=168/25，从而x=±168/25。

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